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L’opérateur gradient

Définition

L’opérateur gradient est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ scalaire (fonction scalaire dépendant de l’espace et du temps) et le transforme en un champ vectoriel (vecteur dépendant de l’espace et du temps). Il se lit gradient ou nabla et se note \[ \overrightarrow{\text{grad}}f(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) \] Dans le système de cordonnées cartésiennes le gradient s’exprime ainsi :

Le gradient

\[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z,t) = \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}} \]

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique.

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Système de coordonnées \(f(\text{M},t)\) Expression de \(\text{grad}f\)
Cartésiennes \(f(x,y,z,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Cylindriques \(f(r,\theta,z,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{r\partial\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Sphériques \(f(r,\theta,\varphi,t)\) \(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{rd\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{r\sin\theta d\varphi}\overrightarrow{u_{\varphi}}\)

Exercice

Calculer le gradient des champs suivants \[ f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\quad\text{et}\quad g(r,\theta,\varphi)=-\frac{1}{r} \] Acheter Faisceux Faux Es Prix Naturel Cils Moins Cher cF3Tl1KJ

Rép - \(\overrightarrow{\nabla}f=(x,y,z)=\overrightarrow{\rm OM}\) et \(\overrightarrow{\nabla}g=\frac{1}{r^2}\overrightarrow{u_r}\)

Propriétés

L’opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc \[ \overrightarrow{\nabla}(\alpha f+\beta g)=\alpha \overrightarrow{\nabla}f+\beta\overrightarrow{\nabla}g \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]

Le gradient d’un produit de champs scalaires vaut \[ \overrightarrow{\nabla}f.g=f\overrightarrow{\nabla}g+g\overrightarrow{\nabla}f \] où \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de l’espace et du temps.

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Lien avec la différentielle

On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit M un point de l’espace et M’ un point infiniment voisin, la différentielle \(\text{d}f\) représente la variation du champ scalaire \(f\) lorsque l’on se déplace de M à M’ à \(t\) fixé : \[ \text{d}f\equiv f(\text{M'},t)-f(\text{M},t) = \overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\cdot\overrightarrow{\text{d}\ell} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{\text{d}\ell} = \overrightarrow{\text{MM'}} \] En conséquence,

Exercice

Considérons le champ scalaire de l'espace bi-dimensionnel, $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Représenter les courbes de niveau puis calculer $\overrightarrow{\nabla}f$. Tracer quelques vecteurs gradients.

Rép. - Les courbes de niveau sont des cercles de centre O. On a \(\overrightarrow{\nabla}f=(2x,2y)=2 \overrightarrow{\rm OM}\). Les vecteur gradients sont effectivement perpendiculaires aux cercles.

L’opérateur divergence

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L’opérateur divergence est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ scalaire. Il se lit divergence et se note \[ \text{div}\overrightarrow{A}(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes :

La divergenceAcheter Faisceux Faux Es Prix Naturel Cils Moins Cher cF3Tl1KJ

\[ \text{div}\overrightarrow{A}(x,y,z,t)= \left(\begin{array}{c} \partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\ \partial/\partial z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} A_{x}\\ A_{y}\\ A_{z}\\ \end{array}\right) = \dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz} \]

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions de la divergence d’un champ vectoriel exprimé dans différents systèmes de coordonnées.

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Système de coordonnées Expression de \(\text{div}\overrightarrow{A}=\nabla\cdot\overrightarrow{A}\)
Cartésiennes \(\dfrac{\partial A_{x}}{dx}+\dfrac{\partial A_{y}}{dy}+\dfrac{\partial A_{z}}{dz}\)
Cylindriques \(\dfrac{\partial(r A_{r})}{r\text{d}r}+ \dfrac{\partial(A_{\theta})}{r\text{d}\theta} + \dfrac{\partial A_{z}}{\text{d}z}\)
Sphériques \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial(r^{2}\,A_{r})}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}\)

Exercice

Considérons le champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(r,\theta,\varphi)=\dfrac{\overrightarrow{u_r}}{r^2}\). Calculer la divergence de ce champ en tout point M autre que O.

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Rép. - On trouve \(\text{div}\overrightarrow{A}=0\). On dit que \(\overrightarrow{A}\) est un champ à flux conservatif (sauf en O).

Propriétés

L’opérateur divergence est un Extra Volume Collagen Mascara675 Paris Voluminous L'oreal Black 0mwvNy8nOopérateur linéaire et vérifie donc \[ \text{div}(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B}) = \alpha\,\text{div}\overrightarrow{A}+ \beta\,\text{div}\overrightarrow{B} \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \]

La divergence d’un produit vaut \[\text{div}(f.\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot(f\overrightarrow{A}) = f\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\nabla}f = f\text{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f \]

Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence

Le flux d'un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(\textrm{M})\) à travers une surface fermée \((S)\) est égal à l'intégrale sur le volume \(V\) limité par \((S)\) de la divergence du champ vectoriel. \[ \iint_{\textrm{M}\in (S)}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}= \iiint_{\textrm{M}\in V}\text{div}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\;\text{d}\tau \quad\textrm{avec}\quad \textrm{div}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A} \]

Sens physique

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La divergence prend un sens bien précis en mécanique des fluides (simulations). Considérons une portion de fluide en mouvement dans un fluide décrit par le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\). Au cours du mouvement, le volume \(\mathcal{V}\) de cette portion varie suite aux déformations engendrées par l’écoulement. La divergence de la vitesse est liée au taux de dilatation de la portion fluide par la relation \[ \text{div}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mathcal{V}}\frac{\text{D}\mathcal{V}}{\text{D}t} \]

L’opérateur rotationnel

Définition

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L’opérateur rotationnel est un opérateur différentiel qui transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Il se lit rotationnel et se note \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}(\text{M},t) \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}(\text{M},t) \] Cette notation permet de retenir l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes :

Le rotationnel

\[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}= \left(\begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} A_{x}\\[5mm] A_{y}\\[5mm] A_{z}\\[5mm] \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\\ \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{dx}\\ \dfrac{\partial A_{y}}{dx}-\dfrac{\partial A_{x}}{dy} \end{array}\right) \]

Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées.

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Système Expression de \(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\)
Cartésien \(\left(\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x},\, \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\)
Cylindrique \(\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial\theta}-\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_{r}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial \theta}\right)\)
Sphérique \(\left(\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta A_{\varphi})}{\partial\theta} - \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi},\, \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{d\theta}\right)\)

Propriétés

Citons quelques propriétés utiles :

Théorème de Stokes

La circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour \(\mathcal{C}\) Acheter Faisceux Faux Es Prix Naturel Cils Moins Cher cF3Tl1KJ fermé et orienté est égal au flux du rotationnel de ce champ à travers une surface \(\mathcal{S}\) délimité par \(\mathcal{C}\). \[ \oint_{\textrm{M}\in \mathcal{C}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}\ell}= \iint_{\textrm{M}\in \mathcal{S}}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot \overrightarrow{\text{d}S} \] avec \(\overrightarrow{\text{d}S}\) orienté à partir du sens de parcours de \(\mathcal{C}\) et de la règle du tire-bouchon.

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Sens physique

En mécanique des fluides, le rotationnel du champ de vitesse d’un fluide en écoulement est lié à la vitesse de rotation \(\Omega\) des particules de fluide au cours de leur mouvement. \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} \]

L’opérateur laplacien

Le laplacien scalaire

L’opérateur laplacien scalaire est un opérateur différentiel d’ordre deux qui transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire. Le laplacien scalaire s’obtient en prenant la divergence du gradient et se note \(\triangle f(\text{M},t)\).

Le laplacien

\[ \triangle f(\text{M},t) = \text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f) = \nabla^{2}f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \]

Le tableau ci-dessous donne les expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de coordonnées.Lèvres Marque Rouge À Mat Ruby Chili Luxe Acheter A Levres De FclJK1T

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Système de coordonnées Expression de \(\triangle f\)
Cartésiennes \(\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\)Distributeurs En Lèvres Gros À Ligne Rouge Igvm76byYf
Cylindriques \(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\theta^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\)
Sphériques \(\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}}\)

Le laplacien vectoriel

Le laplacien s’applique également à un champ vectoriel. Dans ce cas il renvoie un autre champ vectoriel et se note \[ \triangle \overrightarrow{A} \] Par définition, le laplacien vectoriel s’obtient à l’aide de l’identité \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\nabla}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right) = \overrightarrow{\nabla}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\right) - \nabla^{2}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\overrightarrow{A})-\triangle\overrightarrow{A} \] En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant fixes, le laplacien vectoriel d’un champ \(\overrightarrow{A}\) est tout simplement, un vecteur dont les composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de \(\overrightarrow{A}\) : \[ \triangle\overrightarrow{A}(\text{M},t) = \left(\triangle A_{x}\right)\overrightarrow{u_{x}} + \left(\triangle A_{y}\right)\overrightarrow{u_{y}} + \left(\triangle A_{z}\right)\overrightarrow{u_{z}} \]

Accélération d’une particule de fluide

On a vu en mécanique des fluides (cf. Cinématique des fluides) que l’accélération d’une particule de fluide située en M à l’instant \(t\) pouvait s’obtenir à l’aide du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \] où le dernier terme désigne la partie convective de l’accélération. Explicitons la composante suivant Ox de ce terme en utilisant l’égalité \(\overrightarrow{A}\wedge(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A}.\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}\) avec \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{\nabla}v_{x}\) et \(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{u}_{x}\) : \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}v_{x}\right)\overrightarrow{u}_{x} = \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}_{x}\right)\overrightarrow{\nabla}v_{x} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = v_{x}\overrightarrow{\nabla}v_{x}-\overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}v_{x}^{2} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u_{x}}\right) \] Ainsi en procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x} + \overrightarrow{\nabla}v_{y}\wedge\overrightarrow{u}_{y} + \overrightarrow{\nabla}v_{z}\wedge\overrightarrow{u}_{z}\right) \] On reconnait \(v^2\) dans le gradient et l’on voit apparaître \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\) dans le dernier terme. On aboutit alors à une nouvelle expression de l’accélération

Accélération d'une particule de fluide

\[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\text{grad}}\frac{v^{2}}{2}+\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} \]
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